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By Erwin Kruppa

ISBN-10: 3709178681

ISBN-13: 9783709178683

Das vorliegende Lehrbuch "Analytische und konstmktive Differentialgeometrie" gliedert sich in zwei Teile. Der erste Teil "Analytische Differentialgeometrie" ist eine EinfUhrung in die analytische, allgemeine Theorie der Raumkurven und FHi.chen, der Strahlflachen, Strahlkongruenzen und Strahlkomplexe im euklidi schen Raum. Er soll eine ausreichende Grundlage fUr ein tieferes Eindringen in die Differentialgeometrie liefern. Diese Zweckbestimmung laBt naturgemaB dem Verfasser nur wenig freien Spielraum. Doch wurden manche Einzelheiten neu gestaltet. Insbesondere wurde die Theorie der Strahlflachen in einer von mir in einigen Arbeiten entwickelten Methode dargestellt, die die Theorie der Raum kurven als Sonderfall der Theorie der Strahlflachen erscheinen laBt. 1m zweiten Teil "Konstruktive Differentialgeometrie" wird in der Differential geometrie die seit den Uranfangen der Geometrie getibte Methode angewendet, die das im Geiste moglichst klaF gedachte, wenn moglich graphisch versinnlichte geometrische Objekt mittels Synthese und Rechnung erforscht. In ihrer Frtih zeit conflict die Differentialgeometrie stark anschaulich-konstruktiv ausgerichtet. Diese Richtung muBte aber in den Hintergrund treten, je mehr die moderne Ent wicklung in abstrakte Gebiete fUhrte, die sich nur wenig oder gar nicht anschau li.ch erfassen lassen. Sie kam auch unverdient in MiBkredit, als miBbrauchlich in ihrem Namen viel Unfug mit "unendlich klein en GroBen" getrieben wurde. Es liegt in der Natur der Sache, daB in der Differentialgeometrie die anschaulich konstruktive Methode nur auf einer analytischen Grundlage angewendet werden kann, da ihre Begriffsbi1dungen auf Voraussetzungen tiber Differenzierbarkeit beruhen. Die auf diesem Wege zu gewinnenden Ergebnisse sind daher bloB Er ganzungen zur analytischen Theorie.

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Daher sind fu, fv, fuv linear abhangig. Daraus folgt (6uv fu f,,) = 0 und weiterhin nach § 25 Gl. (4) auf jeder (~t, v)-Flache M = o. Auf jeder (u, v)-Flache ist aber nach Gl. (23) auch F = o. M = F = 0 ist aber kennzeichnend dafiir, dafJ die Parameterlinien Kriimmungslinien sind, denn durch diese Bedingungen geht die Differentialgleichung der Krummungslinien [§ 29, Gl. (9)J in du dv = 0 uber. Dasselbe gilt fUr die (v, w)- und die (w, u)-Flachen, was zu beweisen war. fvw fu = 0, fwu § 40. DrehWichen konstanter GauBscher Kriimmung.

Diese drei Systeme von Parameterflachen haben die besondere Eigenschaft, daB je zwei Parameterflachen, die verschiedenen Systemen angeh6ren, sich rechtwinklig schneiden, eine Eigenschaft, die offenbar bloB besonderen Systemen krummliniger Koordinaten zukommt. Die Parameterfliichen der riiumlichen Polarkoordinaten bilden ein "dreifach orthogonales Fliichensystem"; auch zu den Zylinderkoordinaten r, cp, z mit x = r cos cp, y = r sin cp, z = z geh6rt ein solches System. Urn diesen Begriff allgemein zu erklaren, hat man zu Gl.

Wir bringen die Gleichung § 28 (r) auf die Form: (RL -E) du2 +2 (RM -F) dudv + (RN -G) dv = o. (r) Fur ein vorgegebenes R ist Gl. (r) eine quadratische Gleichung fur jene Tangentenrichtungen (du, dv), in denen der Kriimmungsradius des NormaIschnittes 2 1 Dber den Nachweis der Spitze siehe etwa MULLER-KRUPPA, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. 4. AufI. Leipzig-Berlin 1936. 5· AufI. Wien 1948• S. 54. 2 CH. DUPIN. Developpements de geometrie. Paris 1813. S. 48. III. Kriimmung der Flachen 30 das gegebene R ist.

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