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By Hartmut Laue

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Es sind ¨aquivalent: 30 (i) ∀U ≤ V A ∃W ≤ V A ˙ V = U ⊕W. (ii) Es gibt eine Menge X irreduzibler A-Teilmoduln von V mit X = V. (iii) V ist vollreduzibel. Folgerung Faktormoduln und Teilmoduln vollreduzibler A-Moduln sind vollreduzibel. Beweis. (i)⇒(ii) Sei X die Menge aller irreduzibler A-Teilmoduln von V , U := X . Nach Voraussetzung gibt es einen A-Teilmodul W von V mit ˙ V = U ⊕W . 17(2) einen irreduziblen A-Teilmodul T , und es folgte der Widerspruch T ⊆ W ∩ X = W ∩ U = {0V }. Also ist W = {0V }, V = U = X.

Rn ∼ = R von A mit A = R1 + · · · + Rn gibt. 1) Rk ∩ (R1 + · · · + Rk−1 + Rk+1 + · · · + Rn ) = {0A } f¨ ur alle k ∈ n, also: A = ˙ Ri . 12, i∈n denn A ist unit¨ar. 14 eine Divisionsalgebra, also auch D := (EndA R)− , und es gilt: A ∼ = D n×n . 5 erinnern. Ist zum Beispiel p eine Primzahl und A eine einfache unit¨are p2 -dimensionale assoziative Algebra u ¨ber einem K¨orper K, so ist A entweder eine Divisionsalgebra oder isomorph zu K p×p . 15 eine Divisionsalgebra D u = D n×n . Aus p2 = dimK A = n2 dimK D ¨ber K und ein n ∈ N geben mit A ∼ folgt nun n = p, D ∼ = K (also A ∼ = K p×p ) oder n = 1, dimK D = p2 (also A ∼ = D).

Dann gilt: (1) A K= A M 48 (2) Ist A rechtsartinsch, so ist der Durchschnitt in (1) gleich N (A). Beweis. (1) Ist (V ; δ) ein irreduzibler A-Algebren-Modul und V (Aδ) = {0V }, so gilt f¨ ur v ∈ V {0V } stets v(Aδ) = V : Denn v|v ∈ V, v(Aδ) = {0V } ist ein echter A-Teilmodul von V , mithin gleich {0V }. F¨ ur alle v ∈ V {0V } gilt also v(Aδ) = {0V }, damit aber v(Aδ) = V . 2 ein linksmodulares Rechtsideal von A und f¨ ur v = 0V maximal ist. 1 jedes linksmodulare maximale Rechtsideal R den Kern einer irreduziblen A-Algebren-Darstellung (n¨amlich den Kern von ρA/R ) enth¨alt.

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